El Argumento Principal

En este texto la notación $\textbf{arg} (z)$ se usa para designar un argumento arbitrario de $z,$ lo cual significa que $\textbf{arg} (z)$ es un conjunto de números. En particular, la relación $$\textbf{arg} (z_1) = \textbf{arg} (z_2)$$ no es una ecuación, sino que expresa una igualdad entre dos conjuntos.

Como consecuencia, dos números complejos $r_1 (\cos \varphi_1 + i \,\text{sen }\varphi_1)$ y $r_2 (\cos \varphi_2 + i \,\text{sen }\varphi_2)$ son iguales si y sólo si

$$r_1=r_2,\quad \text{and}\quad \varphi_1 = \varphi_2+ 2 k \pi,$$

donde $k \in \mathbb Z.$

Para hacer que el argumento de $z$ sea un número bien definido, es conveniente restringir su valor al intervalo $(-\pi, \pi].$ Esta elección especial se denomina argumento principal o la rama principal del argumento y se denota como $\textbf{Arg}(z).$

Notemos que no existe una convención general acerca de la definición del valor principal, algunas veces sus valores se consideran definidos en el intervalo $[0, 2\pi).$ Esta ambigüedad es una fuente perpetua de mal entendidos y errores. En este libro siempre utilizaremos el intervalo $(-\pi, \pi].$

El argumento principal $\textbf{Arg}(z)$ de un número complejo $z=x+iy$ normalmente está dado por $$\Theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right),$$ donde $y/x$ es la pendiente, y $\arctan$ convierte la pendiente en ángulo. Pero esto es correcto solo cuando $x > 0,$ cuando el cociente está definido y el ángulo está entre $-\pi/2$ and $\pi/2.$ Necesitamos extender esta definición a los casos donde $x$ no es positivo, considerando el valor principal del argumento de forma separada en los cuatro cuadrantes del plano complejo.

La función $\textbf{Arg}(z)$ $:\mathbb C \setminus \{0\} \rightarrow \left(-\pi,\pi\right]$ está definida como:

\begin{eqnarray*} \textbf{Arg}(z)= \left\{\def\arraystretch{1.2}% \begin{array}{@{}c@{\quad}r@{}} \arctan \frac{y}{x} & \;\text{if $x>0,$ $y\in \mathbb R$}\\ \arctan \frac{y}{x}+\pi & \;\text{if $x <0,$ $y\geq 0$}\\ \arctan \frac{y}{x}-\pi & \;\text{if $x < 0,$ $y < 0$}\\ \frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y> 0$}\\ -\frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y < 0$}\\ \text{undefined}& \;\text{if $x=0,$ $y=0$}\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*}

De esta forma, si $z=r(\cos \Theta +i\,\text{sen } \Theta),$ con $r>0$ y $-\pi < \Theta \leq \pi,$ entonces

\begin{eqnarray*} \textbf{arg}(z)= \{ \textbf{Arg}(z)+2n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}

Podemos visualizar los múltiples valores de $\textbf{arg}(z)$ al usar superficies de Riemann. El siguiente applet interactivo muestra algunas ramas (o valores) de $\textbf{arg}(z).$ Cada rama se identifica con un color diferente.