Raíces de Números Complejos

Recordemos que si $z=x+iy$ es un número complejo diferente de cero, entonces se puede escribir en su forma polar como \[z=r(\cos \theta +i \,\text{sen } \theta)\] donde $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta$ es el ángulo, en radianes, medido desde el eje positivo $x$ al rayo que conecta el origen con el punto $z.$

Ahora, la fórmula de De Moivre's establece que si $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ y $n$ es un entero positivo, entonces \begin{eqnarray*} z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen } n\theta). \end{eqnarray*}

Sea $w$ un número complejo. Usando la fórmula de De Moivre nos ayudará a resolver la ecuación $$z^n=w$$ para $z$ cuando $w$ es dado.

Supongamos que $w=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ y $z=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen } \psi).$ Entonces De Moivre nos dice que $$z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen } n\psi).$$ De aquí sigue que $$\rho^n=r=|w|$$ por la unicidad de la representación polar y además $$n\psi = \theta +k(2\pi),$$ donde $k$ es un entero. De esta forma

Usando la fórmula de Euler: $$e^{i\theta}=\cos \theta +i \,\text{sen } \theta,$$ el número complejo $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ se puede escribir también es su forma exponencial como $$z=re^{i\theta} = r \, \mbox{exp} (i\theta).$$

De esta manera, las $n$ raíces del número complejo $z\neq 0$ se pueden expresar como

El applet siguiente muestra una representación geométrica de las $n$ raíces de un número complejo, hasta $n=10.$ Mueve el punto rojo alrededor para cambiar el valor de $z$ o mueve los deslizadores.

#Número
Z = 1 + ί

#Módulo de Z
r = abs(Z)

#Ángulo de Z
theta = atan2(y(Z), x(Z))

#Número de raíces
n = Slider(2, 10, 1, 1, 150, false, true, false, false)

#Grafica n-raíces
nRoots = Sequence(r^(1/n) * exp( ί * ( theta/n + 2 * pi * k/n ) ), k, 0, n-1)