Phân loại điểm kỳ dị

Phần \begin{eqnarray}\label{principal} \frac{b_1}{z-z_0}+\frac{b_2}{(z-z_0)^2}+\frac{b_3}{(z-z_0)^3}+\cdots \end{eqnarray} của chuỗi Laurent, liên quan đến các lũy thừa âm của $z - z_0,$ được gọi là phần chính của $f$ tại $z_0.$ Hệ số $b_1$ trong phương trình (\ref{principal}), hóa ra đóng một vai trò rất đặc biệt trong giải tích phức. Nó được đặt một tên đặc biệt: thặng dư của hàm $f(z).$ Trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào phần chính để xác định điểm kỳ dị cô lập $z_0$ là một trong ba loại đặc biệt.

Cực điểm

Nếu phần chính của $f$ tại $z_0$ chứa ít nhất một số hạng khác không nhưng số số hạng như vậy chỉ là hữu hạn, thì tồn tại một số nguyên $m \geq 1$ sao cho $$b_m\neq 0 \quad\text{và} \quad b_{k}=0\quad \text{với}\quad k\gt m.$$ Trong trường hợp này, điểm kỳ dị cô lập $z_0$ được gọi là cực điểm bậc $m.$ Một cực điểm bậc $m = 1$ thường được gọi là cực điểm đơn.

Ví dụ

Xét các hàm

$$f(z)=\dfrac{e^z-1}{z^2},\qquad g(z)=\frac{\cos z}{z^2}\qquad\text{và}\qquad h(z)=\frac{\sinh z}{z^4},$$

với một điểm kỳ dị cô lập tại $z_0=0.$ Hình 1, 2 và 3 cho thấy chân dung pha nâng cao của các hàm này được định nghĩa trong hình vuông $|\text{Re }z|\lt 3$ và $|\text{Im }z|\lt 3.$

Cực điểm bậc 1 — $f(z)=\dfrac{e^z-1}{z^2}.$

Cực điểm bậc 2 — $g(z)=\dfrac{\cos z}{z^2}.$

Cực điểm bậc 3 — $h(z)=\dfrac{\sinh z}{z^4}.$

Bây giờ từ chân dung pha nâng cao chúng ta có thể quan sát rằng $z_0=0$ thực sự là một cực điểm mà bậc cũng có thể dễ dàng nhìn thấy, đó chỉ là số tia đẳng sắc của một (được chọn tùy ý) màu gặp nhau tại điểm đó. Do đó chúng ta có thể khẳng định rằng $f,$ $g$ và $h$ có cực điểm bậc 1, 2 và 3; tương ứng. Để xác nhận điều này, hãy tính biểu diễn chuỗi Laurent tâm tại $0.$ Đầu tiên quan sát rằng

\begin{eqnarray*} f(z)&=&\frac{1}{z^2}\left[ \left( 1 + z + \frac{z^2}{2!}+\cdots \right) - 1 \right]\\ &=&\frac{1}{z} +\frac{1}{2!}+\frac{z}{3!}+\frac{z^2}{4!}+\cdots, \quad (0\lt|z|\lt\infty). \end{eqnarray*}

Do đó chúng ta có thể thấy rằng $f$ có một cực điểm đơn. Mặt khác

\begin{eqnarray*} g(z)&=&\frac{1}{z^2}\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots \right)\\ &=&\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2!}+\frac{z^2}{4!}-\cdots, \quad (0\lt|z|\lt\infty) \end{eqnarray*}

thì $g$ có cực điểm bậc 2. Cuối cùng, $h$ có cực điểm bậc 3 vì

\begin{eqnarray*} h(z)&=&\frac{1}{z^4}\left(z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots \right)\\ &=&\frac{1}{z^3}+\frac{1}{3!}\cdot \frac{1}{z}+\frac{z}{5!}+\frac{z^3}{7!}+\cdots, \quad(0\lt|z|\lt\infty). \end{eqnarray*}

Điểm kỳ dị loại bỏ được

Khi mọi $b_n$ đều bằng không, sao cho

\begin{eqnarray}\label{residue003} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n,\quad (0\lt |z-z_0| \lt R_2). \end{eqnarray}

Trong trường hợp này, $z_0$ được biết đến như một điểm kỳ dị loại bỏ được. Lưu ý rằng thặng dư tại một điểm kỳ dị loại bỏ được luôn bằng không. Nếu chúng ta định nghĩa, hoặc có thể định nghĩa lại, $f$ tại $z_0$ sao cho $f(z_0) = a_0,$ khai triển (\ref{residue003}) trở nên hợp lệ trong toàn bộ đĩa $|z - z_0| \lt R_2.$ Vì một chuỗi lũy thừa luôn biểu diễn một hàm giải tích trong vòng tròn hội tụ của nó, nên suy ra rằng $f$ là giải tích tại $z_0$ khi nó được gán giá trị $a_0$ ở đó. Do đó, điểm kỳ dị $z_0$ được loại bỏ.

Ví dụ

Xét các hàm

$$f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2},\qquad g(z)=\frac{\sin z}{z}\qquad\text{và}\qquad h(z)=\frac{z}{e^z-1}.$$

Hình 4, 5 và 6 cho thấy chân dung pha nâng cao của các hàm này được định nghĩa trong hình vuông $|\text{Re }z|\lt 8$ và $|\text{Im }z|\lt 8.$

Điểm kỳ dị loại bỏ được — $f(z)=\dfrac{1-\cos z}{z^2}.$

Chúng ta nhận thấy rằng $f$ có một điểm kỳ dị tại $z_0=0$ nhưng trong trường hợp này đồ thị không hiển thị các đường đẳng sắc gặp nhau tại điểm đó. Điều này cho thấy rằng điểm kỳ dị có thể loại bỏ được.

Chúng ta có thể xác nhận tuyên bố này một cách dễ dàng từ biểu diễn chuỗi Laurent: \begin{eqnarray*} f(z)&=&\frac{1}{z^2}\left[1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots \right)\right]\\ &=&\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\frac{z^4}{6!}-\cdots, \quad (0\lt |z|\lt \infty). \end{eqnarray*} Trong trường hợp này, khi giá trị $f(0)=1/2$ được gán, $f$ trở thành toàn cục. Hơn nữa, chúng ta có thể quan sát một cách trực giác rằng vì $z=0$ là một điểm kỳ dị loại bỏ được của $f,$ thì $f$ phải là giải tích và bị chặn trong một lân cận bị xóa nào đó $0\lt |z|\lt \varepsilon.$

Bài tập 1: Tìm khai triển chuỗi Laurent cho $g$ và $h$ để xác nhận rằng chúng có điểm kỳ dị loại bỏ được tại $z_0=0.$

Điểm kỳ dị cốt yếu

Nếu một số vô hạn các hệ số $b_n$ trong phần chính (\ref{principal}) khác không, thì $z_0$ được gọi là một điểm kỳ dị cốt yếu của $f.$

Ví dụ

Hàm $$f(z)=\exp\left(\frac{1}{z}\right)$$ có một điểm kỳ dị cốt yếu tại $z_0=0$ vì \begin{eqnarray*} f(z)&=&1+\frac{1}{1!}\cdot\frac{1}{z}+\frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{z^2}+\cdots\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{z^n}, \quad (0\lt |z|\lt \infty). \end{eqnarray*}

Hình 7 cho thấy chân dung nâng cao của $f$ trong hình vuông ${|\text{Re }z|\lt 0.5}$ và ${|\text{Im }z|\lt 0.5}.$ Điều đầu tiên chúng ta nhận thấy là hành vi của $f$ gần điểm kỳ dị cốt yếu khá bất thường. Quan sát cách các đường đẳng sắc, gần $z_0=0,$ tạo thành các hình số tám tự chứa vô hạn.

Thực tế, một lân cận của $z_0=0$ giao với vô số đường đẳng sắc của chân dung pha của cùng một màu [Wegert, 2012, tr. 181]. Sự thật này có thể được đánh giá một cách trực giác bằng cách vẽ chân dung pha đơn giản của $\exp(1/z)$ trên một vùng nhỏ hơn, như được hiển thị trong Hình 8.

Một ví dụ khác với điểm kỳ dị cốt yếu tại gốc tọa độ là hàm $$g(z) = (z - 1) \cos\left(\frac{1}{z}\right)$$ Hình 9 cho thấy chân dung pha nâng cao của $g$ trong hình vuông $|\text{Re } z| \lt 0.3$ và $|\text{Im } z| \lt 0.3.$

Bài tập 2: Tìm khai triển chuỗi Laurent cho $(z − 1) \cos(1/z)$ để xác nhận rằng nó có một điểm kỳ dị cốt yếu tại $z_0=0.$

Nhận xét cuối

Chân dung pha khá hữu ích để hiểu hành vi của các hàm gần các điểm kỳ dị cô lập. Hình 7 và 9 cho thấy hành vi khá hoang dã của các hàm này trong một lân cận của các điểm kỳ dị cốt yếu, so với cực điểm và điểm kỳ dị loại bỏ được. Ngoài ra, chúng có thể được sử dụng để khám phá và hiểu, từ quan điểm hình học, các kết quả toán học trừu tượng hơn như Định lý Picard lớn, nói với chúng ta rằng bất kỳ hàm giải tích nào có điểm kỳ dị cốt yếu tại $z_0$ nhận tất cả các giá trị phức có thể (với nhiều nhất một ngoại lệ duy nhất) vô số lần trong bất kỳ lân cận nào của $z_0.$